Теория вероятности примеры решения задач


Тема 8


ТЕМА 8


ЗАДАЧА № 1


Диаметр детали, изготовленной заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

РЕШЕНИЕ


I Способ


Для решения используем формулу отклонения случайной величины, распределенной по нормальному закону, от среднего значения:



Вероятность попадания случайной величина в заданный интервал нам известна по условию Р = 0,9973, ,
Подставим вместо Р имеющееся значение вероятности:





По таблице находим аргумент = 3, тогда ? = 0,03.

Значит, искомые границы следующие: 2,47 ? X ? 2,53.

Покажем этот интервал на рисунке:



II Способ


Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, равная 0,9973 соответствует трехсигмовому интервалу отклонения случайной величины от среднего. То есть, если , то тогда отклонение в обе стороны от математического ожидания (среднего) составит (0,01 ? 3) 0,03.

Значит, искомые границы следующие: 2,47 ? X ? 2,53.

ОТВЕТ: Диаметр наудачу взятой детали с вероятностью 0,9973 заключен в следующие границы: 2,47 ? X ? 2,53.



ЗАДАЧА № 2


Число аварий на угольных шахтах подчиняется закону гамма-распределения с параметрами ? = 0,429, ? = 1,68 • 10-3. Определить вероятность того, что число аварий будет находится в пределах х1 = 500 и х2 = 600.

РЕШЕНИЕ








ОТВЕТ: Вероятность того, что число аварий будет находится в пределах х1 = 500 и х2 = 600, равна 0,00378.



ЗАДАЧА № 3


Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого имеет показательное распределение F1(t) = 1 – e-0,05t, второго - F2(t) = 1 – e-0,1t. Найти вероятность того, что за время длительностью 18 часов:

а) оба элемента будут работать;
б) откажет только 1 элемент;
в) откажет хотя бы 1 элемент;
г) оба элемента откажут.

РЕШЕНИЕ

1) Обозначим событие А1 = «Первый элемент работает», А2 = «Второй элемент работает».

2) F1(18) = P(T < 18) = P(A1) = 1 – e-0,05 • 18 = 0,59;
F2(18) = P(T < 18) = P(A2) = 1 – e-0,1 • 18 = 0,83;
P() = 1 – P(A1) = 1 – 0,59 = 0,41;
P() = 1 – P(A2) = 1 – 0,83 = 0,165;

3) Обозначим событие В = «Оба элемента работают».

В = А1 • А2.


Так как события А1 и А2 независимы, то P(B) = P(A1) • P(A2) = 0,59 • 0,83 = 0,4897.

4) Обозначим событие С = «Отказал только один элемент».

С =


P(C) = P()• P(A2) + P()• P(A1) = 0,41 • 0,83 + 0,59 • 0,165 = 0,438

5) Обозначим событие D = «Отказал хотя бы один элемент».

D = . Так как события и совместны, то
P(D) = P() + P() - P() = P() + P() - P() • P() = 0,41 + 0,165 – 0,41 • 0,165 = 0,507.

6)Обозначим событие Е = «Отказали оба элемента».

Е = . Так как события независимые, то P(E) = P() • P() = 0,41 • 0,165 = 0,0676.

ОТВЕТ: Вероятность того, что оба элемента будут работать, равна 0,4897, что откажет только один элемент – 0,438, что откажет хотя бы один элемент – 0,507, что оба элемента откажут – 0,0676.



ЗАДАЧА № 4


Среднее число ошибок, которые делает оператор в течение часа работы, равно 2. Найти вероятность того, что за три часа работы оператор сделает:
а) 4 ошибки;
б) не менее трех ошибок;
в) хотя бы одну ошибку.

РЕШЕНИЕ

Для решения используем следующую формулу:



? – время работы – 3 часа,
? – среднее число ошибок за 1 час работы – 2.
? ? = 6.

а) Найдем вероятность того, что оператор сделает 4 ошибки.



б) Найдем вероятность того, что оператор сделает за три часа работы не менее трех ошибок:

[center]Рk ? 0(3) = P0(3) + P1(3) + P2(3)[center]

Рk ? 0(3) =


в) Найдем вероятность того, что оператор сделает хотя бы 1 ошибку.

Рk > 1(3) = 1 – P0(3) = 1 -


ОТВЕТ: Вероятность того, что оператор за 3 часа сделает 4 ошибки, равна 0,1339, что сделает не менее трех ошибок – 0,062, что сделает хотя бы одну ошибку – 0,9975.



ЗАДАЧА № 5


Случайная величина Х имеет бета-распределение с параметрами а = 30, b = 2. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0,2; 0,5), математическое ожидание и дисперсию Х.

РЕШЕНИЕ

1) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:







2) Математическое ожидание:

М(Х) =


М(Х) =


3) Определим дисперсию случайной величины Х:



4) Вычислим среднеквадратичное отклонение величины Х от среднего:





ОТВЕТ: Вероятность попадания случайной величины в интервал (0,2; 0,5) равна , М(Х) = 0,9375, D(Х) = 0,00177.


Страница 1 
Тема 2
Тема 3
Тема 4
Тема 5
Тема 6
Тема 7
Тема 8
Приложение 1
Приложение 2

© 2007-2012 allmatematika.ru Перепечатка материалов без согласования с администрацией запрещена.