Теория вероятности примеры решения задач

Тема 8

ТЕМА 8

ЗАДАЧА № 1

Диаметр детали, изготовленной заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

РЕШЕНИЕ

I Способ

Для решения используем формулу отклонения случайной величины, распределенной по нормальному закону, от среднего значения:

Вероятность попадания случайной величина в заданный интервал нам известна по условию Р = 0,9973,

Подставим вместо Р имеющееся значение вероятности:

По таблице находим аргумент

= 3, тогда ? = 0,03.

Значит, искомые границы следующие: 2,47 ? X ? 2,53.

Покажем этот интервал на рисунке:

II Способ

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, равная 0,9973 соответствует трехсигмовому интервалу отклонения случайной величины от среднего. То есть, если

, то тогда отклонение в обе стороны от математического ожидания (среднего) составит (0,01 ? 3) 0,03.

Значит, искомые границы следующие: 2,47 ? X ? 2,53.

ОТВЕТ: Диаметр наудачу взятой детали с вероятностью 0,9973 заключен в следующие границы: 2,47 ? X ? 2,53.

ЗАДАЧА № 2

Число аварий на угольных шахтах подчиняется закону гамма-распределения с параметрами ? = 0,429, ? = 1,68 • 10^-3. Определить вероятность того, что число аварий будет находится в пределах х₁ = 500 и х₂ = 600.

РЕШЕНИЕ

ОТВЕТ: Вероятность того, что число аварий будет находится в пределах х₁ = 500 и х₂ = 600, равна 0,00378.

ЗАДАЧА № 3

Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого имеет показательное распределение F₁(t) = 1 – e^-0,05t, второго - F₂(t) = 1 – e^-0,1t. Найти вероятность того, что за время длительностью 18 часов:

а) оба элемента будут работать;
б) откажет только 1 элемент;
в) откажет хотя бы 1 элемент;
г) оба элемента откажут.

РЕШЕНИЕ

1) Обозначим событие А₁ = «Первый элемент работает», А₂ = «Второй элемент работает».

2) F₁(18) = P(T < 18) = P(A₁) = 1 – e^{-0,05 • 18} = 0,59;
F₂(18) = P(T < 18) = P(A₂) = 1 – e^{-0,1 • 18} = 0,83;
P(

) = 1 – P(A₁) = 1 – 0,59 = 0,41;
P(

) = 1 – P(A₂) = 1 – 0,83 = 0,165;

3) Обозначим событие В = «Оба элемента работают».

В = А₁ • А₂.

Так как события А₁ и А₂ независимы, то P(B) = P(A₁) • P(A₂) = 0,59 • 0,83 = 0,4897.

4) Обозначим событие С = «Отказал только один элемент».

С =

P(C) = P(

)• P(A₂) + P(

)• P(A₁) = 0,41 • 0,83 + 0,59 • 0,165 = 0,438

5) Обозначим событие D = «Отказал хотя бы один элемент».

D =

. Так как события

совместны, то
P(D) = P(

) + P(

) - P(

) = P(

) + P(

) - P(

) • P(

) = 0,41 + 0,165 – 0,41 • 0,165 = 0,507.

6)Обозначим событие Е = «Отказали оба элемента».

Е =

. Так как события независимые, то P(E) = P(

) • P(

) = 0,41 • 0,165 = 0,0676.

ОТВЕТ: Вероятность того, что оба элемента будут работать, равна 0,4897, что откажет только один элемент – 0,438, что откажет хотя бы один элемент – 0,507, что оба элемента откажут – 0,0676.

ЗАДАЧА № 4

Среднее число ошибок, которые делает оператор в течение часа работы, равно 2. Найти вероятность того, что за три часа работы оператор сделает:
а) 4 ошибки;
б) не менее трех ошибок;
в) хотя бы одну ошибку.

РЕШЕНИЕ

Для решения используем следующую формулу:

? – время работы – 3 часа,
? – среднее число ошибок за 1 час работы – 2.
? ? = 6.

а) Найдем вероятность того, что оператор сделает 4 ошибки.

б) Найдем вероятность того, что оператор сделает за три часа работы не менее трех ошибок:

[center]Р_{k ? 0}(3) = P₀(3) + P₁(3) + P₂(3)[center]

Р_{k ? 0}(3) =

в) Найдем вероятность того, что оператор сделает хотя бы 1 ошибку.

Р_{k > 1}(3) = 1 – P₀(3) = 1 -

ОТВЕТ: Вероятность того, что оператор за 3 часа сделает 4 ошибки, равна 0,1339, что сделает не менее трех ошибок – 0,062, что сделает хотя бы одну ошибку – 0,9975.

ЗАДАЧА № 5

Случайная величина Х имеет бета-распределение с параметрами а = 30, b = 2. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0,2; 0,5), математическое ожидание и дисперсию Х.

РЕШЕНИЕ

1) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал: