Ряды

Ряды

1. Числовые ряды

Числовой ряд

Этот ряд сходится, если существует предел

Необходимое условие сходимости ряда

Признак Даламбера

При q<1 ряд сходится; при q>1 ряд расходится; при q=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым, т.е. ряд может как сходиться, так и расходиться.

Интегральный признак Коши

Пусть f(x) - такая функция, что f(k)=Uk (k=1, 2, ...). Тогда ряд `sum_(k=1)^ooU_k` с положительными членами сходится, если существует несобственный интеграл `int_1^oof(x)dx`, и расходится в противном случае.

Признак сходимости знакочередуещегося ряда

Знакочередующийся ряд `U_1-U_2+U_3-U_4+...=sum_(k=1)^(oo)(-1)^(k+1) U_k` сходится, если `lim_(k->oo)(U_k)=0` и `U_k>U_(k+1)` (k=1,2,...)

Абсолютная и условная сходимости

Ряд с произвольными членами `sum_(k=1)^ooU_k` сходится абсолютно, если сходится ряд `sum_(k=1)^oo|U_k|`.
Если ряд `sum_(k=1)^ooU_k` сходится, а ряд `sum_(k=1)^oo|U_k|` расходятся, то первый ряд называется условно сходящимся.

Операции над абсолютно сходящимися рядами

2. Функциональные ряды

Функциональный ряд

Этот ряд сходится при x=a, если сходится числовой ряд `sum_(k=1)^ooU_k(a)`
Область сходимости функционального ряда - это множество тех значений x, при которых ряд сходится.

3. Степенные ряды

Областью сходимости степенного ряда

является промежуток (-R, R), где R - радиус сходимости.

Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Радиус сходимости этих рядов, полученных почленным дифференцированием и интегрированием, остается без изменений.

Ряд Тейлора

Ряд Маклорена

Биномиальный ряд

При m целом и положительном ряд конечен, а в противном случае - бесконечен. Ряд сходится в промежутке (-1, +1).