Теория вероятности примеры решения задач


Тема 7


ТЕМА 7


ЗАДАЧА № 1


Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

X258
P0,4P20,1

Найти: Р2; функцию распределения F(х) и построить ее график; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти закон распределения случайной величины Y, где Y = 2X, Y = X2.

РЕШЕНИЕ

1) Определим Р2. Так как сумма всех вероятностей, указанных в таблице, должна быть равна единице (то есть Р1 + Р2 + Р3 = 1), то Р2 найдем из формулы:

Р2 = 1 - Р1 - Р3


Р2 = 1 – 0,4 – 0,1 = 0,5.


2) Построим функцию распределения


а) Рассмотрим первый интервал х <= 2:
б) Рассмотрим второй интервал 2 < х <= 5:
в) Рассмотрим третий интервал 5 < х <= 8:
г) Рассмотрим четвертый интервал х > 8:
Запишем закон распределения:



3) Построим график функции распределения:



4) Определим математическое ожидание данной случайной величины Х (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):



М(Х) = 2 ? 0,4 + 5 ? 0,5 + 8 ? 0,1 = 4,1.


5) Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):

Д(Х) = М(Х2) – М2(Х)




М(Х2) = 22 ? 0,4 + 52 ? 0,5 + 82 ? 0,1 = 20,5.


Д(Х) = 20,5 – 4,12 = 3,69.


6) Определим среднеквадратическое отклонение, которое характеризует среднее отклонение случайной величины от среднего, по формуле:





7) Составим закон распределения для функций Y = 2X и Y = X2

X258
Y=2X41016
Y=X242564
P0,4P20,1



ЗАДАЧА №2


Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):



Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию, СКО, медиану и моду случайной величины Х;
б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (1/6; 1/3);
в) квантили порядка 0,1; 0,5; 0,9 и показать их на графике.

РЕШЕНИЕ

1) Найдем плотность распределения случайной величины Х.

f(Х) = F '(x)




2) Определим математическое ожидание случайной величины Х:



3) Определим дисперсию случайной величины Х:



4) Вычислим среднеквадратичное отклонение величины Х от среднего:





5) Найдем медиану:



Решим квадратное уравнение: D = 4 + 6 = 10, x1 = 0,193; x2 = -0,86.

Таким образом, Me = 0,193.

6) Для определения моды построим график плотности распределения:



Построим график функции распределения:



Из графика видно, что случайная величина не имеет моды.

7) Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (1/6; 1/3).

P (x1 < X < x2) = F(x1) – F(x2)


P (1/6 < X < 1/3) = F(1/3) – F(1/6) =


8) Найдем квантили:

- порядка 0,1



После решения квадратного уравнения получаем: x1 = 0,047, x2 = -0,71.
X0,1 = 0,047.

- порядка 0,5



После решения квадратного уравнения получаем: x1 = 0,193; x2 = -0,86.
X0,5 = 0,193.

- порядка 0,9



После решения квадратного уравнения получаем: x1 = 0,31; x2 = -0,98.
X0,9 = 0,31

Изобразим квантили на графиках (см. графики выше).


Страница 1 
Тема 2
Тема 3
Тема 4
Тема 5
Тема 6
Тема 7
Тема 8
Приложение 1
Приложение 2

© 2007-2012 allmatematika.ru Перепечатка материалов без согласования с администрацией запрещена.