Здравствуйте, скажите, правда ли, что 0,(9)=1. И если есть, какие нибудь доказательства того что это так, или не так. Я читал про то, что "Если 1/3=0,(3), то 1=1/3*3 = 0,(3)*3=0,(9). Мне показалось достаточно убедительным, но некоторым моим собеседникам нет, поэтому хочу докопаться до истины. Заранее спасибо.
Да, это так. Доказать можно по-разному, например, вы можете показать, что для любого эпсилон, большего нуля, разница между этими числами меньше, чем эпсилон.
Допустим, что 0,(9) не равно 1. Это значит, между этими числами есть еще одно (или несколько, если хотите...), но мы понимаем, что его существовать не может, так как 9 - наибольшая цифра в десятичной системе счисления. Благодаря этому число 0,(9) стремится к 1, и в идеале должно достигнуть его (что, конечно, невозможно)
Допустим, что 0,(9) не равно 1. Это значит, между этими числами есть еще одно (или несколько, если хотите...), но мы понимаем, что его существовать не может, так как 9 - наибольшая цифра в десятичной системе счисления. Благодаря этому число 0,(9) стремится к 1, и в идеале должно достигнуть его (что, конечно, невозможно)
Извините, не согласен. Если 0,(9) не равно 1, то оно или больше или меньше. Ну, допустим, что 0,(9)<1. ОБЯЗАТЕЛЬНО должно существовать число между ними (минимум одно, а вообще - бесконечно много), как между двумя не равными рациональными числами. Вы же пишите, что его существовать не может! Поэтому не понятно, что Вы имеет ввиду. Не понятно, что значит 0,(9) стремится к 1 (мы ведь считаем, что 0,(9) число). Что для Вас является идеалом достижения? Бесконечное число 9-ок? В числе 0,(9) оно бесконечно, по определению периодической дроби, вроде как идеал достигнут.
Всё дело в этих скобках вокруг девятки - они подразумевают бесконечное применение операции сложения.
Каждую дробь в системе счисления с выбранным основанием можно записать двумя методами - с избытком, когда в дроби последняя цифра нуль, который тоже можно заключить в скобки для обозначения его периодичности, и с недостатком, как в случае этих пресловутых девяток троек и всех остальных периодических остатков дроби.
Понимание значения скобок иногда имеет предел - некоторые ищут эту последнюю девятку - ведь все последовательности, с которыми мы сталкиваемся в повседневном опыте - конечны. В этом же случае дело в том, что последней девятки нет - их количество после запятой не ограничено. Потому достигается равенство - ведь `10*x-x=9 => x=1`.
Сомнение других оттенков возникает в случае, когда просят найти величину, скажем, десятичной дроби `0,82(123)`, так как цифр в периоде уже не одна, а три, то период воспринимается сознанием ищущего решение совсем по-другому. Решение такой задачи даёт подход к общему методу поиска значения этих дробей в виде отношения целых чисел, особенно, если данную дробь рассматривать с множеством эквивалентных `0,821(231)` и `0,8212(312)`, то желается, а, иногда, и кажется естественным, чтобы ответ не зависел от выбора представления.
Если задуматься, отношения целых чисел представляют не меньшую трудность для сознания, чем десятичные дроби, что можно видеть в процессе справедливого деления дискретной добычи. Например, если нужно разделить 24 яблока на 19 человек поровну, процесс деления не представляется простым, однако, всё же, конечным. Поиск такого деления при котором количество операций разрезания минимально часто открывает новые свойства деления, как процесса.
Бесконечные суммы знакопеременных слагаемых не эквивалентны конечным суммам. Этот факт находит своё выражение в известной из анализа теореме Римана.
Часто кажется, что применение их интуиций ничем не ограничено, однако, это не так. Применению интуиций в случае наличия такого опыта в изобилии, думаю, мы предпочитаем процесс изучения математического явления вместо высказывания гипотез, чем часто и являются наши интуиции, наверное, именно в этот период и возникают различные методы поиска решений, а затем и доказательства: от противного - конструктивное, дедуктивное - индуктивное, как пары технически противоположных приёмов, и другие методы доказательств.
Главная / Форум
Правила
Правила форума
Формулы
Задачи
ГДЗ
Анимации
Программы
Обратная связь
Каталог сайтов
Карта сайта
Онлайн-компьютер
