Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. Является самоподобной или приближенно самоподобной. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую. Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
История Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
множество Кантора — нигде не плотное несчетное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины. треугольник Серпинского и ковер Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости. губка Менгера — аналог множества Кантора в трехмерном пространстве; примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции. кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке; кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата. траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Ее хаусдорфова размерность равна двум. Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Примерами таких кривых служат:
кривая дракона; кривая Коха; кривая Леви; кривая Минковского; кривая Пеано. с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.
Фракталы в комплексной динамике
Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задается итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа. Еще один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.
Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путем раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Стохастические фракталы Природные объекты, возникающие в результате сложных процессов случайного характера, часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве; граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельборта о том, что ее размерность равна 4/3. эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например в модели Изинга и перколяции. различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введен случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике. Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, состоящие в получении изображения случайного фрактала.
Главная / Форум
Правила
Правила форума
Формулы
Задачи
ГДЗ
Анимации
Программы
Обратная связь
Каталог сайтов
Карта сайта
Онлайн-компьютер
