Одна из самых знаменитых теорем математики - великая теорема Ферма. Она почти столь же известна, как теорема Пифагора. Вы помните, конечно, что теорема Пифагора `a^2 + b^2 = c^2` имеет бесконечное множество решений, когда a, b, c - целые числа. Простейший пример: a=3, b=4, c=5. Умножая обе части уравнения на квадрат любого целого числа, сразу получаем бесконечный набор целых же решений. Он описывает, конечно, семейство подобных треугольников. Каждую тройку целых a, b, c, удовлетворяющих уравнению, называют пифагоровой тройкой. Можно найти и принципиально различные пифагоровы тройки, а именно такие тройки, когда a, b, c не имеют общего делителя (см. Курант Г., Роббинс Г. Что такое математика? М.-Л. 1947. Гл.1, § 1). Например (5, 12, 13); (7, 24, 25) ... (51, 140, 149) и т.д. Естественно, возникает мысль о возможности обобщения задачи. Существуют ли решения в целых числах для уравнений `a^3 + b^3 = c^3, a^4 + b^4 = c^4` и вообще для уравнений вида `a^n + b^n= c^n` также целое число? Понятно, что постановка задачи и естественна, и совершенно элементарна. А дальше... дальше начинается детектив. Итак, Ферма доказал: ни одно уравнение вида `a^n + b^n = c^n`, где n>2, не имеет решений в целых числах. Но Пьер Ферма за известностью не бежал и работ своих практически не публиковал. Писал крайне скупо; о многих своих результатах сообщал только друзьям в письмах, причем часто без доказательств. Он работал в Тулузе советником суда, великолепно знал латынь, древнегреческий, испанский, итальянский. Развлекался сочинением, говорят, недурных стихов на французском, латыни, испанском; для отдыха читал древних авторов. А также занимался математикой. И слегка натурфилософией (т.е. физикой). Результаты его и идеи в точных науках могли бы блестяще оправдать многолетнюю работу большого и высококлассного академического института. Ферма, как мы уже говорили, отчетов не составлял, с удовольствием переписывался с теми несколькими друзьями, кто был в состоянии его понимать (в частности, с Блезом Паскалем). Формулировал проблемы, решал задачи, которые порой предлагали его корреспонденты. Именно в переписке Ферма и Паскаля как-то между прочим возникли основы теории вероятностей. Похоже, грязь и мерзости того времени (поверьте, тогда их было не меньше, чем в наши дни) обошли Пьера Ферма стороной, и его вселенная существовала параллельно изрядно гнусному миру королей, кардиналов, солдат и монахов, практически с ним не соприкасаясь. Пьера Ферма, в отличие от мушкетеров Дюма (его современников), не очень волновали бесконечные войны, гражданские и внешние, и как-то поразительно небрежно, даже равнодушно относился он к славе, прижизненной и посмертной. Тут подходящий момент, чтобы взглянуть на то, как завязывается детектив. В начале XVII в. был издан на латыни труд древнегреческого математика Диофанта "Арифметика". К счастью для математики, у издания были весьма обширные поля. Ферма очень детально штудировал книгу, а на полях делал заметки, приводя без доказательств новые теоремы, им полученные. Иногда, но отнюдь не всегда, он упоминал об идеях доказательства. Вообще-то он собирался как-нибудь написать сочинение, в котором обещал обогатить арифметику... Но, увы, единственное, что осталось, - заметки на полях Диофанта и письма к коллегам, где он также формулировал теоремы без доказательств. В те времена так было принято. Порой даже рассылались "открытые письма" математикам. Вот вам, коллеги, теорема. Попробуйте! Докажите! Как бы то ни было, после того как сын Ферма издал труд Диофанта с пометками отца на полях, более 100 лет крупнейшие математики доказывали теоремы Ферма. Запомним: ни разу он не ошибся. Все теоремы оказались верны, исключительно важны для теории чисел и в конце концов были доказаны. Все, кроме "великой теоремы". И нелишне отметить, что на полях Ферма написал вот что: "Я располагаю поистине чудесным доказательством, но поля слишком узки, чтобы его можно было на них поместить". Постепенно среди математиков стал распространяться "синдром великой теоремы" - род тихого помешательства, порой приводившего в психиатрические больницы. А когда в начале нашего века некий немецкий математик завещал 100 тыс. марок тому, кто докажет ее, психоз стал обвальной пандемией. И тысячи доказательств обрушились на академии. Между тем профессионалы развивали новые и новые методы. К началу нашего столетия теорема Ферма была доказана для не слишком больших n. Тогда называли n<100; в книге Р.Куранта указано n<619. Наконец, в статье Ю.П.Соловьева приводится, видимо, последнее достижение - n<4·106. Все доказательства умопомрачительно сложны, многие из них получены с использованием современной математической техники (см. Ю.П.Соловьев. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Сор. обр. журн., 1998, №2, с.135). Возникла и быстро стала весьма популярна новая идея. Именно: теорема, возможно, и верна, но Ферма-то ошибался - не мог он ее доказать! Ему просто примерещилось! Рассказывают, что примерно схожая логика была у некоего историографа Гёте, педантичного, дотошного немца. Гёте написал: "В это время я был страстно влюблен в фройляйн N". Комментарий: "Гёте ошибается, в это время он любил совсем другую женщину". Далее следуем статье Соловьева. Как и положено, финал всей истории оказался в классических традициях детективного жанра. В 1955 г. молодой японский математик Ю.Танияма предложил (но не доказал) замечательную теорему в совершенно другой, казалось бы, области современной математики. Не будем уточнять в какой. Теорема эта стала известна как "гипотеза Таниямы". Сам Танияма, к несчастью, скончался через три года (в 1958 г.), а на его теорему примерно двадцать лет не обращали внимания. Потом она стала довольно модной. Прошло еще лет десять, и немецкий математик Г.Фрей предложил новую теорему: если верна гипотеза Таниямы, то верна и последняя (великая) теорема Ферма. Или: теорема Ферма есть следствие гипотезы Таниямы. Но доказать свое утверждение он, увы, не смог. Понятно, что теперь гипотеза Таниямы привлекла внимание математиков всего мира, и следующий акт пьесы переносит ее действие в Америку. Именно американский математик К.Рибет строго доказал теорему Фрея. Но сама гипотеза Таниямы (а значит, и теорема Ферма) по-прежнему оставалась недоказанной. Прошло еще восемь лет, прежде чем американский математик Э.Уайлс сообщил, что нашел доказательство гипотезы Таниямы. Это произошло в 1993 г. Однако в работе Уайлса довольно скоро обнаружили неточности, и потребовался еще год, чтобы он сам вместе с Р.Тейлором дали, наконец, безупречное доказательство гипотезы Таниямы и тем самым доказали теорему Ферма. Между прочим, доказательство их занимает 150 страниц. Итак, доказательство - итог оригинальных работ пяти математиков всего мира. К великой теореме продирались подобно тому, как альпинисты всех стран последовательно штурмовали вершину Эвереста. Но, как и должно быть в классном детективе, главная загадка осталась: как сам Ферма доказал теорему?
Да, как детектив ... Один зубр сказал: "Удивительно и то, с каким энтузиазмом общество встретило эту теорему, и то, что оно почти не заметило её доказательства..."
И ещё, друзья, вы знаете, что эта аналогия с Эверестом глубже чем кажется? Общепризнано, что первыми взошли на Эверест новозеландец Хиллари и шерпа Тенцинг из состава английской экспедиции 1953 года. Но некоторые считают, что первыми, возможно, были Мэллори и Ирвинг в 1924-м, их видели в бинокль недалеко от вершины... Теперь уже не выяснить, потому что они тогда не вернулись, а место, где найден недавно их ледоруб однозначного ответа не даёт.
Лично я с недоверием отношусь к тому, что заметка на полях Ферма действительно означала, что доказательство найдено. Всем известно, что всё гениальное просто, но вспоминая о толмуте современного математического аппарата, которое является доказательством данное Эндрю Уайлсом, тут же возникают сомнения. А не ошибался ли Ферма? Но не мне судить, к тому же такого корифея науки. Будущее покажет, быть может, появится новое доказательство теоремы Ферма, основанное на математических знаниях того времени P.S. И я буду этому только рад
Будущее покажет, быть может, появится новое доказательство теоремы Ферма, основанное на математических знаниях того времени
Это вряд ли. Хорошо известно, что Пьер Ферма высказал ничуть не меньше ложных утверждений чем верных. А достижения тех времен перелопачено очень старательно именно с этих позиций - что было известно математикам его времени, что могло быть положено в основу доказательства. До нас дошло его доказательство только для случая n=4 и уж если бы он в самом деле разобрался с общим случаем, то уж хотя бы случай n=3 или намеки на него должны были где-то сохраниться.
Маняся, я с вами согласен, но(!) не во всём. Во-первых, когда я говорил о математиках тех времён, я не конкретезировал, что это должен быть именно 1650г (к примеру) и именно Ферма. Предпосылки для доказательства при n=3 у Ферма были (ведь доказал впервые теорему для n=3 Эйлер (правда в 1753г), но ипользовал для этого комплексные числа, которые были известны Ферма) Во-вторых, я бы не говорил с уверенностью пророка, что более лёгкого и доступного доказательства теоремы Ферма не существует. Я не защищаю Ферма, но мне хочется верить, что в определённый момент времени расчленённая как лоскут на части математика построит мосты между всеми своими разделами, и топологи станут понимать алгебраистов и т. д., и многие непонятные вещи можно будет объяснить более наглядным языком. Я видел докозательство Уайлса и прозрачным его не назовёшь (недаром рецензировалось оно не один год). В-третьих, буду я рад тому, если...впрочем процетирую слова Д. Гильберта:"Один старый французский математик сказал:"Математическую теорию только тогда можно считать совершенной, когда ты...берёшься изложить её содержание первому встречному""
"...До нас дошло его доказательство только для случая n=4 и уж если бы он в самом деле разобрался с общим случаем, то уж хотя бы случай n=3 или намеки на него должны были где-то сохраниться..." - А что, после принятия "доказательства" Уайлса за таковое, ещё есть математики которым это интересно?... Представьте себе, что в руки попало не доказательство Пьера для случая n=4, а, всего лишь, рассмотрение варианта, к которому прибегнут математики, исходя из объёма имеющихся математических знаний...
Лично я с недоверием отношусь к тому, что заметка на полях Ферма действительно означала, что доказательство найдено. Всем известно, что всё гениальное просто, но вспоминая о толмуте современного математического аппарата, которое является доказательством данное Эндрю Уайлсом, тут же возникают сомнения. А не ошибался ли Ферма? Но не мне судить, к тому же такого корифея науки. Будущее покажет, быть может, появится новое доказательство теоремы Ферма, основанное на математических знаниях того времени P.S. И я буду этому только рад
Я с вами полностью согласен: структура Бинома Ньютона для нечетных степеней позволяет доказать, что значение b вычисляется как решение соответствующего КВАДРАТНОГО уравнения,
в связи с тем, что квадратное уравнения имеет ЕДИНСТВЕННУЮ формулу вычисления b>0, то для нечетных степеней нельзя вычислить иной результат, кроме ЕДИНСТВЕННОЙ аксиомической (существование не требует доказательств) тройки взаимно простых натуральных чисел (a, y, 2b + y), c = b + y.
Главная / Форум
Правила
Правила форума
Формулы
Задачи
ГДЗ
Анимации
Программы
Обратная связь
Каталог сайтов
Карта сайта
Онлайн-компьютер
