я геометрию уже прилично подзабыл, и прошу вашей помощи разобраться с этими треугольниками. для упрощения понимания сути задачи постараюсь объяснить практически на пальцах. что нужно: формула с четырьмя переменными для получения численного значения. оговорка: расстояния неизвестны, кривизной меридианов пренебречь собственно условия: известно направление по компасу на два географических объекта(для примера вершины гор(координаты у них есть и не изменяются во времени, но неизвестны)) из точки Х. и известны направления по компасу на эти же объекты из произвольной точки У. что нужно определить: направление по компасу из произвольной точки У в точку Х.
Синяя точка `K` на рисунке ниже видна под углом $\alpha = 90^\circ$ из всех белых точек (красная точка - северный полюс, тёмно-синяя на заднем фоне - центр). Можно видеть, что точка будет видна под заданным углом $\alpha$ из множества точек, представлющего некоторую кривую $C(K, \alpha)$.
Обратно, множество точек, видимых под заданным углом `beta` из заданной точки `X` будет представлять собой некоторую большую окружность на сфере - `L(X, beta)` (для простоты можно считать, что все эти точки видны из точки `X`, представля, что световые лучи идут по геодезическим сферы).
Пусть точки $A$ и $B$ видны из точки $X$ под углами $\alpha$ и $\beta$ соответственно, а из точки $Y$ под углами $\gamma$ и $\delta$ соответственно. Тогда $Y \in S_Y = C(L(X, \alpha), \gamma) \cap C(L(X, \beta), \delta)$ - искомая точка будет принадлежать данному множеству.
Может быть и так, что множество $S_Y$ представляет собой единственную точку или множество точек, которые видны из точки $X$ под определённым углом. Тогда задача имеет однозначное решение. В остальных случаях нам необходимо сделать задачу определённой, добавив, скажем, третий ориентир (назовём его точкой $C$).
Возникает вопрос, определяет ли вполне задачу добавление новых ориентиров?..
Назовём множество точек из которых данная точка `M` видна под данным углом `alpha` азимутальной кривой - `A(M, alpha)`. Также назовём множество точек видимых под заданным углом `beta` из заданной точки `N` направляющей кривой - `D(N, beta)`.
Мы уже выяснили, что все направляющие кривые представляют собой большие окружности сферы.
Перечислим вопросы, которые возникли в наших предыдущих рассуждениях: 1) на какое количество связных частей азимутальная кривая разбивает сферу? Всегда ли это число одинаково? 2) какое аналитическое уравнение азимутальной кривой? 3) каково множество общих точек пары азимутальных кривых, определяемых точками, лежащими на паре больших окружностей?
Назовём точку `M`, которая должна быть видна под заданным углом из всех точек азимутальной кривой образующей точкой этой кривой, а угол `alpha`, под которым она видна - образующим углом кривой. Заметим также, что северный полюс сферы `N` играет особую роль ориентира, следовательно, особую роль играет также вся ориентированная прямая `ON`, назовём её азимутальной осью.
Положение точки на сфере однозначно определяется азимутальной осью, экваториальной плоскостью и парой углов - широтным `theta` и долготным `phi`. Будем также полагать, что лучи зрения являются геодезическими на поверхности сферы и существо в таком мире смотря прямо перед собой в достаточно сильный оптический прибор, каждый раз видит свою спину, если на пути луча зрения нет препятствий, кроме его самого.
Симметрия сферы относительно однородного центрального масштабирования позволяет рассматривать лишь одну сферу (скажем, единичного радиуса). Осевая же симметрия сферы (вращение по азимутальной оси) позволяет нам рассматривать только тот случай, когда образующая точка расположена на нулевом меридиане `M(0, theta)` - остальные решения получатся, очевидно, вращением множества решений для нулевого меридиана на требуемый угол вокруг азимутальной оси.
Измерение углов ориентируемо (против часовой стрелки и по часовой стрелке), поэтому, можно показать, что будут ориентируемы также азимутальные кривые. Рассмотрим конкретный пример. Для этого найдём геометрические места точек на сфере, из которых заданная точка `M(0,theta)` видима: 1) под нулевым азимутальным углом (`alpha = 0`); 2) под развёрнутым азимутальным углом (`alpha = 180`).
Очевидно, что в данном случае, такими кривыми будут совпадающие, но различно ориентированные большие окружности сферы - одна (из которой заданная точка видна под нулевым углом) будет начинаться в образующей точке и обходить поверхность сферы по нулевому меридиану через северный полюс по часовой стрелке, а другая (из которой данная точка видна под развёрнутым углом) будет начинаться в образующей точке и обходить поверхность сферы по нулевому же меридиану но против часовой стрелки, также пересекая северный полюс.
В плоских пространствах расстояния между парами точек могут неограниченно увеличиваются. На сфере же все кратчайшие пути между парами точек имеют конечную длину, не превосходящую половины большой окружности этой сферы. В отличие от плоскости мы можем ввести также понятие ориентированного расстояния на геодезических сферы.
Так как геодезическая является большой окружностью сферы и, следовательно, ориентируема, будем называть ориентированным расстоянием на ней длину пути между парой упорядоченной парой её точек, пройдённого по кривой при заданном направлении обхода.
Можно видеть, что в этом случае расстояния могут принимать значения от нуля до длины большой окружности сферы.
Введём понятие эквидистантной кривой. Эквидистантной кривой будем называть геометрическое место точек на сфере, ориентированные расстояния от которых до заданной точки равны заданной постоянной.
Данное определение эквидистантной кривой совпадает с определением окружности на плоскости и вводится с целью различения.
Рассмотрим всё множество эквидистантных кривых `E(M, rho)`. Каждая из них определяется самой точкой `M` и расстоянием `rho in [0, 2 pi]` - это будут окружности, представляющие собой сечения сферы плоскостями, перпендикулярными лучу `OM`. Если и на эквидистантных кривых ввести естественную ориентацию (скажем, положительным назвать направление обхода против часовой стрелки вокруг луча `OM`, то они расслоят всю сферу на множество окружностей с положительными и отрицательными направлениями обхода - т.е. на два различных мира - сферу с положительной ориентацией `S_+ : forall rho in [0, pi]` и сферу с отрицательной ориентацией `S_(-) : forall rho in [pi, 2 pi]` и каждая из точек сферы `S` будет входить в оба этих мира.
Окружности обеих миров имеют естественную биекцию и, следовательно, биекцию в неориентированный мир т.е. `S_(-) leftrightarrow S leftrightarrow S_+`.
Главная / Форум
Правила
Правила форума
Формулы
Задачи
ГДЗ
Анимации
Программы
Обратная связь
Каталог сайтов
Карта сайта
Онлайн-компьютер
