Помогите пожалуйста решить олимпиадную задачу очень надо..: Существует ли многочлен множество значений которого в точности равно (0;+∞) Заранее спасибо
Если я правильно понял, то Можно привести тождество, по структуре которое напоминает многочлен. Это тождество должно иметь ОДЗ. Подойдет например это: x^2 + x + ln (x) = x^2 + x + ln (x);
Доказательство первое - с опорой на теоремы анализа
Первая часть - Сбривание усов
Можно видеть, что искомый многочлен должен быть многочленом чётной степени `n = 2 * m`, в противном случае у него будет корень над `RR` в силу непрерывности полиномиальной функции (Лемма 1).
Далее, без ограничения общности (покажите почему это так) можно рассматривать приведённый многочлен: (1) `P(x) = P_(2m)(x) = x^(2m) + ... + a_1 * x^1 + a_0`.
Для достаточно больших по модулю `|x| ge x_M` значения многочлена `P(x)` будут всегда большими любого наперёд выбранного положительного числа `M`.
Остаётся внимательнее рассмотреть замкнутый интервал `x in [-x_M, x_M]` на котором `P(x) le M`.
Вторая часть - I
Но, непрерывная на замкнутом интервале функция достигает на нём своей точной нижней грани т.е. `exists x \in [-x_M, x_M] : P(x) = 0`.
Вторая часть - II Можно немного варьировать вторую часть доказательства для более детального представления картины.
Нули производной `P'(x)` (а хотя бы один нуль будет существовать, так как производная будет многочленом нечётной степени, ведь в соответствии с условием `m > 0`) разобьют рассматриваемый замкнутый интервал на конечное число интервалов монотонности функции - монотонная непрерывная функция достигает на замкнутом интервале своей точной нижней грани, следовательно, хотя бы на одном из них должно быть $P(x_{min}) = 0$.
Вывод Полученное противоречие доказывает теорему.
Использованные леммы - Их необходимо доказать
Лемма 1.Всякий многочлен есть непрерывная функция. Доказательство: `a^k - b^k = (a-b) * (a^(k-1) + a^(k-2) * b + ... + a * b^(k-2) + b^(k-1))` Значит на любом интервале: `|P(x + epsilon) - P(x)| = epsilon * | sum_(k=1)^n a_k * sum_(i=0)^(k-1) (x+epsilon)^(k-1-i) * x^i | le epsilon * | sum_(k=1)^n |a_k| * k* max(|x+epsilon|,|x|)^(k-1)| `.
Таким образом, полиномиальная функция непрерывна.
Лемма 2.Непрерывная на замкнутом интервале функция достигает на нём своих точных верхней и нижней граней. Доказательство:
Нам также была необходима основная теорема алгебры.
Так как у многочлена нет действительных корней, можем заключить, что $a_0 > 0$.
Рассмотрим ряд значений $\{x_k\}, k \in \mathbb{N} \cup {0} : P(x_k) = 2^{-k} \cdot \epsilon$ , которые, в соответствии с условием задачи всегда существуют.
Рассматривая подмножества `X_n subset RR`, удовлетворяющие сети неравенств `X_n : {x | P(x) le epsilon * 2^(-n)}` мы приходим к заключению, что образуется бесконечная цепь `X_1 sup X_2 sup ... sup X_n sup ...` вложенных промежутков. Так как многочлен - непрерывная функция, промежутки должны быть стягивающимися, так как промежутков - бесконечное количество, то у всего их множества будет хотя бы одна предельная точка `x_L in X_1`. Значение функции в этой предельной точке будет неотрицательным и не большим, чем любое положительное число т.е. будет равным нулю. Данное противоречие доказывает теорему.
Замечания Можно видеть, что для многочленов бесконечной степени данная теорема не верна.
Существует многочлен (бесконечного порядка), такой, что $P : \mathbb{R} \, \to \, \mathbb{R}_+$.
Условиям теоремы удовлетворяет, например, функция $e^x$.
Главная / Форум
Правила
Правила форума
Формулы
Задачи
ГДЗ
Анимации
Программы
Обратная связь
Каталог сайтов
Карта сайта
Онлайн-компьютер
